Question

設是一個自然數，是的各位數字的平方和，定義數列：是自然數，（，）．
（1）求，；
（2）若，求證：；
（3）求證：存在，使得．

Answer 1

（1），；（2）證明過程詳見解析；（3）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題是一道新定義題，主要考查歸納推理、數學歸納法、分類討論思想等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力和轉化能力.第一問，由于是a的各位數字的平方和，所以，；第二問，通過題干中給出的的定義設出的值，利用，得到的值，然后用作差法比較和的大小；第三問，用反證法，先假設不存在，使得，經過推理得出矛盾即可.
（1）；
．                           5分
（2）假設是一個位數（），
那么可以設，
其中且（），且．
由可得，．


所以．
因為，所以．
而，
所以，即．                           9分
（3）由（2）可知當時， ．
同理當時， ．
若不存在，使得．
則對任意的，有，總有．
則，
可得．
取，則，與矛盾．
存在，使得．                             14分
考點：歸納推理、數學歸納法、分類討論思想.