Question

已知定點A(0,－1)，點B在圓上運動，    

為圓心,線段AB的垂直平分線交BF于P．

(1)求動點P的軌跡的方程；若曲線被軌跡包圍著，求實數的最小值.

(2)已知、，動點在圓內，且滿足，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) 的最小值為 (2) 的取值范圍為

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解借助于橢圓的定義得到結論。然后結合向量的關系式得到坐標關系，然后利用，得到范圍。

（1）由題意得，∴

∴P點軌跡是以A、F為焦點的橢圓，進而得到結論。而曲線化為，

則曲線是圓心在，半徑為1的圓。

，那么利用圖像法得到最值。

（2）設，由得：，

化簡得，即 ，

而 

∵點在圓內，∴，得到不等式，然后求解得到。

解：(1)由題意得，∴

∴P點軌跡是以A、F為焦點的橢圓. ………………………3分

設橢圓方程為 ，

則，

∴點的軌跡方程為 ………………5分

曲線化為，

則曲線是圓心在，半徑為1的圓。

而軌跡E：為焦點在y軸上的橢圓短軸上的頂點為結合它們的圖像知：

若曲線被軌跡E包圍著，則，

∴的最小值為 。………………………8分

(2)設，由得：，

化簡得，即 ，

而 …………10分

∵點在圓內，∴

∴，

∴，

∴的取值范圍為．……………1２分