Question

（2012•汕頭一模）有以下四個命題：
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件；
②若命題p：?x∈R，sinx≤1，則?p：?x∈R，sinx＞1；
③不等式10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立；
④設有四個函數y=x^-1，y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³，其中在（0，+∞）上是增函數的函數有3個．
其中真命題的序號是（　　）

A．③④

B．①④

C．①③④

D．②③

Answer 1

分析：三角形中，大邊對大角以及正弦定理得到“A＞B”?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，判定出①正確；
根據含量詞的命題的否定規則判定出②不正確；
通過構造函數，根據導函數的正負與函數單調性的關系求出y=10^x-x²＞1，進一步能判定出③正確；
根據5個常見冪函數的圖象得到函數y=x^-1在（0，+∞）上是函減數；函數y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³在（0，+∞）上是增函數，得到④正確．

解答：解：對于①，△ABC中，因為“A＞B”?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，
所以①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件，
所以①正確；
對于②，若命題p：?x∈R，sinx≤1，則?p：?x∈R，sinx＞1；
所以②不正確；
對于③，令y=10^x-x²，y′=10^xln10-2x，y″=10^xln10ln10-2，
所以y″＞0，所以y′=10^xln10-2x在（0，+∞）上是增函數
所以y′＞0，所以y=10^x-x²在（0，+∞）上是增函數，所以y=10^x-x²＞1，所以10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立
所以③正確
對于④，函數y=x^-1在（0，+∞）上是函減數；函數y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³在（0，+∞）上是增函數
所以④正確．
函數y=x^-1在（0，+∞）上是函減數；函數y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³在（0，+∞）上是增函數
故選C．

點評：本題考查三角形的正弦定理；含量詞的命題的否定規則：量詞交換，結論否定；導函數的正負與函數單調性的關系：導函數為負函數單減，導函數為正函數單增，是一道綜合題．