Question

設函數f（x）=lnx﹣ax，a∈R．

（1）當x=1時，函數f（x）取得極值，求a的值；

（2）當a＞0時，求函數f（x）在區間[1，2]的最大值；

（3）當a=﹣1時，關于x的方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一實數解，求實數m的值．

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=．    

因為當x=1時，函數f（x）取得極值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．

經檢驗，a=1符合題意．（不檢驗不扣分）      

（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．

令f′（x）=0得x=．因為x∈（0，）時，f′（x）＞0，x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，

①當0＜≤1，即a≥1時，f（x）在（1，2）上遞減，所以x=1時，f（x）取最大值f（1）=﹣a；

②當1＜＜2，即＜a＜1時，f（x）在（1，）上遞增，在（ ，2）上遞減，

所以x=時，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1；

③當≥2，即0＜a≤時，f（x）在（1，2）上遞增，所以x=2時，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a．

綜上，①當0＜a≤時，f（x）最大值為ln2﹣2a；②當＜a＜1時，f（x）最大值為﹣lna﹣1；

③當a≥1時，f（x）最大值為﹣a．      

  （3）因為方程2mf（x）=x²有唯一實數解，

所以x²﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數解，

設g（x）=x²﹣2mlnx﹣2mx，

則g′（x）=，令g′（x）=0，x²﹣mx﹣m=0．

因為m＞0，x＞0，所以x₁=＜0（舍去），x₂=，

當x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調遞減，

當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調遞增，

當x=x₂時，g（x）取最小值g（x₂）．                 

則

即

所以2mlnx₂+mx₂﹣m=0，因為m＞0，所以2lnx₂+x₂﹣1=0（*），

設函數h（x）=2lnx+x﹣1，因為當x＞0時，h（x）是增函數，所以h（x）=0至多有一解．

因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，即=1，

解得m=．