Question

已知橢圓的中心為坐標原點，短軸長為2，一條準線方程為l：x＝2.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設O為坐標原點，F是橢圓的右焦點，點M是直線l上的動點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1.（2）ON＝為定值

【解析】(1)∵橢圓C的短軸長為2，橢圓C的一條準線為l：x＝2，

∴不妨設橢圓C的方程為＋y2＝1.

∴＝＝2，即c＝1.

∴橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)F(1,0)，右準線為l：x＝2，設N(x0，y0)，

則直線FN的斜率為kFN＝，直線ON的斜率為kON＝，

∵FN⊥OM，

∴直線OM的斜率為kOM＝－，

∴直線OM的方程為：y＝－x，點M的坐標為M .

∴直線MN的斜率為kMN＝.

∵MN⊥ON，∴kMN·kON＝－1，

∴·＝－1，

∴＋2(x0－1)＋x0(x0－2)＝0，

即＋＝2.∴ON＝為定值