Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓的左，右兩個頂點分別為、．曲線是以、兩點為頂點，離心率為的雙曲線．設點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點．
（1）求曲線的方程；
（2）設、兩點的橫坐標分別為、，證明：；
（3）設與（其中為坐標原點）的面積分別為與，且，求的取值范圍．

Answer 1

（1） 依題意可得，．
設雙曲線的方程為，
因為雙曲線的離心率為，所以，即．
所以雙曲線的方程為．
（2）證法1：設點、（，，），直線的斜率為（），
則直線的方程為，
聯立方程組 
整理，得，
解得或．所以．
同理可得，．
所以．
證法2：設點、（，，），
則，．
因為，所以，即．
因為點和點分別在雙曲線和橢圓上，所以，．
即，．
所以，即．
所以．
證法3：設點，直線的方程為，
聯立方程組 
整理，得，
解得或．
將代入，得，即．
所以．
（3）解：設點、（，，），
則，．
因為，所以，即．
因為點在雙曲線上，則，所以，即．
因為點是雙曲線在第一象限內的一點，所以．
因為，，
所以．
由（2）知，，即．
設，則，
．
設，則，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．
因為，，
所以當，即時，．
當，即時，．
所以的取值范圍為．

略