Question

如圖1，在直角梯形中，，，且．

現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，如圖2．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

  

圖                                    圖

 

Answer 1

【答案】

（1）利用線線平行證明線面平行；（2）利用線線垂直證明線面垂直；（3）利用等體積法求解點(diǎn)到面平面的距離

【解析】

試題分析：

解：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．

在△中，分別為的中點(diǎn)， 所以∥，且．

由已知∥，， 所以∥，且．           3分

所以四邊形為平行四邊形． 所以∥．                4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060111290471066654/SYS201306011132299606849335_DA.files/image018.png">平面，且平面，所以∥平面．         5分

（2）證明：在正方形中，．

又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060111290471066654/SYS201306011132299606849335_DA.files/image021.png">平面，且平面平面，

所以平面．  所以．               7分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，

所以．所以．    8分

所以平面．                                        10分

（3）解法一：由（2）知，平面

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060111290471066654/SYS201306011132299606849335_DA.files/image038.png">平面， 所以平面平面．            11分

過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則平面

所以點(diǎn)到平面的距離等于線段的長度                12分   

在直角三角形中，

所以

所以點(diǎn)到平面的距離等于.                          14分

解法二：由（2）知，

所以

                      12分

又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為

則， 所以

所以點(diǎn)到平面的距離等于.                          14分

考點(diǎn)：本題考查了空間中的線面關(guān)系

點(diǎn)評：立體幾何問題主要是探求和證明空間幾何體中的平行和垂直關(guān)系以及空間角、體積等計(jì)算問題．對于平行和垂直問題的證明或探求，其關(guān)鍵是把線線、線面、面面之間的關(guān)系進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化．在尋找解題思路時(shí)，不妨采用分析法，從要求證的結(jié)論逐步逆推到已知條件．