Question

已知橢圓C焦點在x軸上，其長軸長為4，離心率為

3

2

，
（1）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）如圖，過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點，設原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d，試求d=1時a，b滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）由題設知

2a=4 c a = 3 2

．由此得

x2

4

+y2=1．設直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

x2 4 +y2=1 y=kx+2

得（1+4k²）x²+16kx+12=0．由△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，知k∈(-∞，-

3

2

)∪(

3

2

，+∞)．又x1+x2=

-16k

1+4k2

 ，x1x2=

12

1+4k2

，由0°＜∠AOB＜90°?

OA

•

OB

＞0．得-2＜k＜2．由此得：k∈(-2，-

3

2

)∪(

3

2

，2)．
（2）由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形，原點O到各邊的距離相等．當P在y軸上，Q在x軸上時，直線PQ的方程為

x

a

+

y

b

=1，由d=1得

1

a2

+

1

b2

=1，當P不在y軸上時，設直線PS的斜率為k，P（x₁，kx₁），則直線RQ的斜率為-

1

k

，Q(x2，-

1

k

x2)由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1

，得

1

x12

=

1

a2

+

k2

b2

（1），同理

1

x22

=

1

a2

+

1

k2b2

．由此知a，b滿足條件

1

a2

+

1

b2

=1．

解答：解：（1）∵橢圓C焦點在x軸上，其長軸長為4，離心率為

3

2

，
∴

2a=4 c a = 3 2

．解得a=2，b=1，∴

x2

4

+y2=1
顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（5分）
由

x2 4 +y2=1 y=kx+2

得（1+4k²）x²+16kx+12=0．∵△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，
∴k∈(-∞，-

3

2

)∪(

3

2

，+∞)
又x1+x2=

-16k

1+4k2

 ，x1x2=

12

1+4k2

由0°＜∠AOB＜90°?

OA

•

OB

＞0．∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0．
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=

12(1+k2)

1+4k2

+2k

-16k

1+4k2

+4＞0∴-2＜k＜2．
由此得：k∈(-2，-

3

2

)∪(

3

2

，2)．
（2）由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形，原點O到各邊的距離相等．
當P在y軸上，Q在x軸上時，直線PQ的方程為

x

a

+

y

b

=1，由d=1得

1

a2

+

1

b2

=1，
當P不在y軸上時，設直線PS的斜率為k，P（x₁，kx₁），則直線RQ的斜率為-

1

k

，Q(x2，-

1

k

x2)
由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1

，得

1

x12

=

1

a2

+

k2

b2

（1），同理

1

x22

=

1

a2

+

1

k2b2

在Rt△OPQ中，由

1

2

d•|PQ|=

1

2

|OP|•|OQ|，即|PQ|²=|OP|²•|OQ|²
所以(x1-x2)2+(kx1+

x2

k

)2=[x12+(kx1)2]•[x22+(

x2

k

)2]，化簡得

k2

x22

+

1

x12

=1+k2，
分k2(

1

a2

+

1

k2b2

)+

1

a2

+

k2

b2

=1+k2，
即

1

a2

+

1

b2

=1．
綜上，d=1時a，b滿足條件

1

a2

+

1

b2

=1

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．