Question

設正項數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=n²．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

(an+1)(an+1+1)

，求數列{b_n}的前n項的和T_n．
（3）是否存在自然數m，使得

m-2

4

＜T_n＜

m

5

對一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法，可求數列的和；
（3）先確定

1

8

≤T_n＜

1

4

，再根據

m-2

4

＜T_n＜

m

5

對一切n∈N^*恒成立，建立不等式，即可求得m的值

解答：解：（1）∵S_n=n²，∴當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
a₁=1滿足上式，∴a_n=2n-1；
（2）由b_n=

1

(an+1)(an+1+1)

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)
∴T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．
（3）T_n+1-T_n=

n+1

4(n+2)

-

n

4(n+1)

=

1

4(n+1)(n+2)

＞0，∴{T_n}單調遞增，∴T_n≥T₁=

1

8

∵T_n=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

，∴

1

8

≤T_n＜

1

4

使得

m-2

4

＜T_n＜

m

5

對一切n∈N^*恒成立，則

1 4 ≤ m 5 m-2 4 ＜ 1 8

∴

5

4

≤m＜

5

2

∵m是自然數，∴m=2．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，求得數列的通項與和是關鍵．