Question

已知各項均為正數的等比數列{an}的首項a1＝2，Sn為其前n項和，若5S1，S3，3S2成等差數列．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)設bn＝log2an，cn＝，記數列{cn}的前n項和Tn.若對?n∈N*，Tn≤k(n＋4)恒成立，求實數k的取值范圍．

 

Answer 1

（1）an＝2n（2）

【解析】(1)設數列{an}的公比為q，∵5S1，S3，3S2成等差數列，

∴2S3＝5S1＋3S2，即2(a1＋a1q＋a1q2)＝5a1＋3(a1＋a1q)，

化簡得2q2－q－6＝0，解得q＝2或q＝－.

因為數列{an}的各項均為正數，所以q＝－不合題意，

所以數列{an}的通項公式為an＝2n.

(2)由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，

則cn＝＝＝－，

Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.

∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.

∵n＋＋5≥2＋5＝9，當且僅當n＝，即n＝2時等號成立，

∴≤，因此k≥，故實數k的取值范圍為