Question

機床廠今年年初用98萬元購進一臺數控機床，并立即投入生產使用，計劃第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設使用x年后數控機床的盈利額為y萬元．
(Ⅰ)寫出y與x之間的函數關系式；
(Ⅱ)從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值）；
(Ⅲ)使用若干年后，對機床的處理方案有兩種：
(1)當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該機床；
(2)當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床．
請你研究一下哪種方案處理較為合理？請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ) ；（Ⅱ）從第3年開始盈利；（Ⅲ）方案Ⅰ比較合理.

解析試題分析：（Ⅰ）使用x年的總收入為，每年支付的維修保養費用構成一等差數列，由等差數列求和公式可得使用x年的總支出，總收入減去總支出便可得使用x年后數控機床的盈利額，從而得y與x之間的函數關系式.
（Ⅱ）解不等式便可得的范圍，從而知道從從第幾年開始盈利.
（Ⅲ)）(1)年平均盈利額為：
對可用重要不等式求出其最大值，從而可確定什么時候年平均盈利額達到最大值，可求出工廠獲得的總利潤．
(2)盈利額y=－2x²＋40x－98是一個二次函數，可通過配方求出其最大值，從而可確定什么時候盈利額達到最大值，可求出工廠獲得的總利潤．
將二者進行比較，便知哪個方案更合理．
試題解析：（Ⅰ）依題得（xN*）.    3分
（Ⅱ）解不等式得.
.又∵xN*,∴3≤x≤17，故從第3年開始盈利.     7分
（Ⅲ）(1)年平均盈利額為：
，當且僅當時，即x=7時等號成立．
所以到2008年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利12×7+30＝114萬元．
(2)盈利額y=－2x²＋40x－98=－(x－10)²＋102，當x=10時，y_max=102.
故到2011年，盈利額達到最大值，工廠獲利102+12＝114萬元 .        
盈利額達到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的時間較短，故方案Ⅰ比較合理．        12分
考點：1、函數的應用；2、函數的最值；3、重要不等式.