Question

已知函數是函數的極值點。

（Ⅰ）當時，求a的值，討論函數的單調性；

（Ⅱ）當R時，函數有兩個零點，求實數m的取值范圍.

（Ⅲ）是否存在這樣的直線，同時滿足：

①是函數的圖象在點處的切線　

②與函數 的圖象相切于點，如果存在，求實數b的取值范圍；不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）,

．                ．．．．1分

由已知得，解得a=1．                ……2分

．

當時，，當時，．又，     ．．．．3分

當時，在，上單調遞增，在上單調遞減．  ………4分

（2）由（1）知，當時，單調遞減，

當，單調遞增，.         ………………2分

要使函數有兩個零點，則函數的圖象與直線有兩個不同的交點.

①當時，m=0或；                                   ．．．．3分

②當b=0時，；                                      ．．．．4分

③當.                                       ．．．．5分

（3）假設存在， 時，

      

函數的圖象在點處的切線的方程為：       ．．．．1分

直線與函數的圖象相切于點，

_，，所以切線的斜率為

    所以切線的方程為

    即的方程為：                         …………2分

    得

    得其中                      ．．．．3分

    記其中

      

    令                                         ．．．．4分

 

		1
	+	0	-
		極大值

又_，

      

    所以實數b的取值范圍的集合：             …………5分