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已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且離心率為
3
2
．
（1）若過F1的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，且
PF1
=3
F1Q
，求直線PQ的斜率；
（2）若橢圓E過點(diǎn)（0，1），且過F1作兩條互相垂直的直線，它們分別交橢圓E于A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．
（1）設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線為l，作PD⊥x軸于D，作PN⊥l于N，由第二定義得|PN|=
2
3
3
|PF1|．
作QM⊥l于M，得|QM|=
2
3
3
|F1Q|=
2
3
9
|PF1|，
作QE⊥PN于E，交軸于點(diǎn)A得|EP|=4|AF1|=
4
3
9
|PF1|，
∴|F1D|=3|AF1|=
3
3
|PF1|，
∴|PD|=
6
3
|PF1|，
∴直線PQ的斜率為±
|PF1|
|F1D|
=±
2
；
（2）由題意，b=1，又
c
a
=
3
2
，∴a=2，b=1，c=
3
，
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1．
∵DB、AC為過焦點(diǎn)的兩條直線，∴當(dāng)AC為2a，DB⊥x軸時(shí)，面積有最大值，最大值為2；
當(dāng)兩條直線斜率都存在時(shí)，F(xiàn)1（-
3
，0），設(shè)直線AC的方程為y=k（x-
3
）
與橢圓聯(lián)立消去y，（
1
4
+k2）x2-2
3
k2x+3k2-1=0
設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=
2
3
k2
1
4
+k2
，x1x2=
3k2-1
1
4
+k2

∴|AC|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
×
(x1+x1)2-4x1x2
=
k2+1
1
4
+k2

同理可得|BD|=
4+4k2
k2+4
，
∴四邊形ABCD面積為S=
1
2
|AC||BD|=
1
2
×
2+k2+
1
k2
17
16
+
1
4
(k2+
1
k2
)

令t=k2+
1
k2
，則t≥2，∴S=
1
2
×
2+t
17
16
+
1
4
t
=2×
2+t
17
4
+t
=2（1-
9
4
17
4
+t
）
∵t≥2，∴0＜
9
4
17
4
+t
≤
9
25
，∴
32
25
≤S＜2
∴四邊形ABCD面積最小值為
32
25
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)拋物線C1：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F1，焦點(diǎn)為F2；以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，離心率e=
1
2
的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的交點(diǎn)為P，延長(zhǎng)PF2交拋物線于點(diǎn)Q，M是拋物線C1上一動(dòng)點(diǎn)，且M在P與Q之間運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C2的方程；
（2）當(dāng)△PF1F2的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)時(shí)，求△MPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知平面直角坐標(biāo)系xoy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A（1，
1
2
）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）過原點(diǎn)O的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值，并求此時(shí)直線BC的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若動(dòng)圓過定點(diǎn)A（-3，0）且和定圓（x-3）2+y2=4外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡為（　　）
A．雙曲線B．橢圓C．拋物線D．雙曲線一支

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)F（1，0），直線L：x=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線L的垂線，垂足為Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有
FA
•
FB
＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若直線y=-x+m與曲線y=
5-
1
4
x2
只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（　　）
A．-1≤m＜2B．-2
5
≤m≤2
5
C．-2≤m＜2或m=5D．-2
5
≤m≤2
5
或m=5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的兩頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸兩端點(diǎn)為B1，B2，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2．若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點(diǎn)分別為A，B，C，D．則：
（Ⅰ）雙曲線的離心率e=______；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值
S1
S2
=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求∠F1AF2的平分線所在直線l的方程；
（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，⊙O：x2+y2=16，A（-2，0），B（2，0）為兩定點(diǎn)，l是⊙O的一條動(dòng)切線，若過A，B兩點(diǎn)的拋物線以直線l為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)所在的軌跡是（　　）
A．雙曲線B．橢圓C．拋物線D．圓

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同步練習(xí)冊(cè)答案