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已知點F（1，0），直線L：x=-1，P為平面上的動點，過點P作直線L的垂線，垂足為Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）是否存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有
FA
•
FB
＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（1）設P的坐標為（x，y），則Q（-1，y），可得
QP
=（x+1，0），
QF
=（2，-y），
FP
=（x-1，y），
FQ
=（-2，y），
∵
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
，
∴（x+1）•2=（x-1）（-2）+y2，化簡得y2=4x，
即動點P的軌跡C的方程為y2=4x．
（2）設l的方程為x=ty+m，過點M（m，0）（m＞0）的直線l與
曲線C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
x=ty+m
y2=4x
消去x，得y2-4ty-4m=0．…（*）
則y1、y2是方程（*）的兩根．
∴△=16（t2+m）＞0，且
y1+y2=4t
y1y2=-4m
①
又∵
FA
=(x1-1，y1)，
FB
=(x2-1，y2)，
∴
FA
•
FB
＜0，可得（x1-1）（x2-1）+y1y2＜0，即x1x2-（x1-x2）+1+y1y2＜0…②
由于x1x2=
y12
4
•
y22
4
，代入不等式②可得：
y21
4
•
y22
4
+y1y2-(
y21
4
+
y22
4
)+1＜0，
化簡得
(
y1
y2)2
16
+y1y2-
1
4
[(y1+y2)2-2y1y2]+1＜0…③
由①式，化簡不等式③得m2-6m+1＜4t2，…④
對任意實數t，不等式4t2≥0恒成立，
∴不等式④對于一切t成立等價于m2-6m+1＜0，
解之得3-2
2
＜m＜3+2
2
．
由此可得：存在正數m，對于過點M（m，0），且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，
都有
FA
•
FB
＜0，且m的取值范圍是(3-2
2
，3+2
2
)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，動點P到兩點（-
3
，0），（
3
，0）的距離之和等于4，設點P的軌跡為曲線C，直線l過點E（-1，0）且與曲線C交于A，B兩點．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若AB中點橫坐標為-
1
2
，求直線AB的方程；
（3）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：x2+
y2
m
=1的焦點在y軸上，且離心率為
3
2
．過點M（0，3）的直線l與橢圓C相交于兩點A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P為橢圓上一點，且滿足
OA
+
OB
=λ
OP
（O為坐標原點），當|
PA
|-|
PB
|＜
3
時，求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（2，0），且離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點N（
2
，0）且斜率為
6
3
的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求證：
OA
•
OB
=0．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，線段AB的兩個端點A、B分別分別在x軸、y軸上滑動，|AB|=5，點M是AB上一點，且|AM|=2，點M隨線段AB的運動而變化．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）設F1為點M的軌跡的左焦點，F2為右焦點，過F1的直線交M的軌跡于P，Q兩點，求S△PQF2的最大值，并求此時直線PQ的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點為F1，F2，且離心率為
3
2
．
（1）若過F1的直線交橢圓E于P，Q兩點，且
PF1
=3
F1Q
，求直線PQ的斜率；
（2）若橢圓E過點（0，1），且過F1作兩條互相垂直的直線，它們分別交橢圓E于A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為6．求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A、B．求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，0）、B（1，0），動點C滿足條件：△ABC的周長為2+2
2
．記動點C的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）經過點（0，
2
）且斜率為k的直線l與曲線W有兩個不同的交點P和Q，求k的取值范圍；
（Ⅲ）已知點M（
2
，0），N（0，1），在（Ⅱ）的條件下，是否存在常數k，使得向量
OP
+
OQ
與
MN
共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓
x2
2
+
y2
=1上的點到直線2x-y=7距離最近的點的坐標為（　�。�
A．（-
4
3
，
1
3
）		B．（
4
3
，-
1
3
）		C．（-
4
3
，
17
3
）		D．（
4
3
，-
17
3
）

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