Question

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側面底面. 若.
（1）求證：平面；
（2）側棱上是否存在點，使得平面？若存在，指出點 的位置并證明，若不存在，請說明理由；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

解析試題分析：（1）由側面底面，PA⊥AD及面面垂直性質定理得，PA⊥面ABCD，由線面垂直定義可得PA⊥CD，通過計算可證CD⊥AC，根據線面垂直判定定理可得CD⊥面PAC；（2）若E是PA中點，F是CD中點，連結BE，EF，CF，由三角形中位線定理及平行公理可證四邊形BEFC為平行四邊形，則BE∥CF，根據線面平行的判定定理可得；（3）以A為原點，AB，AC，AP分別為軸建立空間直角坐標系，顯然是平面PAD的法向量，求出PCD的法向量，求出這兩個法向量的夾角的余弦值，即可求出二面角A-PD—C的余弦值.
試題解析：（1）因為 ，所以.
又因為側面底面，且側面底面，
所以底面.
而底面，
所以.
在底面中，因為，，
所以 ， 所以.
又因為， 所以平面.            4分

（2）在上存在中點，使得平面，
證明如下：設的中點是，
連結，，，
則，且.
由已知，
所以. 又，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
因為平面，平面，
所以平面.           8分
（3）由（1）知，PA⊥面ABCD，以A為原點，AB，AC，AP分別為軸建立空間直角坐標系，設AB=1，則P（0，0，1），B(1,0,0)