Question

函數y=

1

2

sinx（x∈R）的橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移

π

2

個單位所得的曲線是y=f（x）的圖象，
（1）試求y=f（x）的周期和值域，
（2）求函數y=f（x）的單調遞增、單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）通過函數圖象的變換求出函數的解析式，利用三角函數的周期的求法求y=f（x）的周期正弦函數的值域求解函數的值域，
（2）通過正弦函數的單調性直接求解求函數y=f（x）的單調遞增、單調遞減區間．

解答：解：（1）由題知函數y=

1

2

sinx，（x∈R）的橫坐標伸長為原來的2倍得y=

1

2

sin

1

2

x，
再向左平移

π

2

個單位得函數f（x）=

1

2

sin

1

2

(x+

π

2

)，
所以y=f（x）的周期為4π，值域為[-1，1]
（2）令-

π

2

+2kπ≤

1

2

(x+

π

2

)≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得-

3π

2

+4kπ≤x≤

π

2

+4kπ，k∈Z，
即函數的單調增區間為[-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ]，k∈Z，
同理函數的單調減區間為[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ]，k∈Z，

點評：本題考查三角函數的圖象的變換，解析式的求法，三角函數的基本性質的應用，考查計算能力．