Question

（2013•江蘇一模）某部門要設計一種如圖所示的燈架，用來安裝球心為O，半徑為R（米）的球形燈泡．該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個部件組成，其中圓弧形燈托

EA

，

EB

，

EC

，

ED

所在圓的圓心都是O、半徑都是R（米）、圓弧的圓心角都是θ（弧度）；燈桿EF垂直于地面，桿頂E到地面的距離為h（米），且h＞R；燈腳FA₁，FB₁，FC₁，FD₁是正四棱錐F-A₁B₁C₁D₁的四條側棱，正方形A₁B₁C₁D₁的外接圓半徑為R（米），四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為θ（弧度）．已知燈桿、燈腳的造價都是每米a（元），燈托造價是每米

a

3

（元），其中R，h，a都為常數．設該燈架的總造價為y（元）．
（1）求y關于θ的函數關系式；
（2）當θ取何值時，y取得最小值？

Answer 1

分析：（1）由題意把4根燈腳及燈架寫成是關于θ的表達式，運用弧長公式把4根燈托也用θ表示，然后乘以各自的造價作和即可得到y關于θ的函數關系式；
（2）對（1）求出的函數式進行求導計算，分析得到當θ=

π

3

時函數取得極小值，也就是最小值．

解答：解：如圖，

（1）延長EF與地面交于O₁，由題意知：∠A₁FO₁=θ，且FO1=

R

tanθ

，
從而EF=h-

R

tanθ

，A1F=

R

sinθ

，
則y=4θ•R•

a

3

+(h-

R

tanθ

+

4R

sinθ

)a，(θ∈(0，

π

2

))．
（2）y=Ra(

4θ

3

+

4-cosθ

sinθ

)+ha，
設f(θ)=

4θ

3

+

4-cosθ

sinθ

，
令f′(θ)=

4

3

+

sin2θ-cosθ(4-cosθ)

sin2θ

=

4sin2θ+3-12cosθ

3sin2θ

=

(1-2cosθ)(7+2cosθ)

3sin2θ

=0．
得：1-2cosθ=0，所以θ=

π

3

．
當θ∈(0，

π

3

)時，f^′（θ）＜0．
當θ∈(

π

3

，

π

2

)時，f^′（θ）＞0．
設θ∈(θ0，

π

2

)，其中tanθ0=

R

h

＜1，∴θ0＜

π

4

．
∴

π

3

∈(θ0，

π

2

)，∴θ=

π

3

時，y最小．
答：當θ=

π

3

時，燈架造價取得最小值．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了利用導數求函數的最值，解答此題時要注意實際問題要注明符合實際意義的定義域，此題是中檔題．