Question

已知點

F

1

、

F

2

分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P為橢圓上任意一點，P到焦點F₂的距離的最大值為

2

+1，且△P

F

1

F

2

的最大面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）點M的坐標為(

5

4

，0)，過點F₂且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A、B兩點，求

MA

•

MB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由P到焦點F₂的距離的最大值為

2

+1，可得a+c=

2

+1，由△P

F

1

F

2

的最大面積為1，可得bc=1，結合a²=b²+c²，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-1）代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量的數量積運算，化簡即可求得

MA

•

MB

的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，∵P到焦點F₂的距離的最大值為

2

+1，
∴a+c=

3

+1，①
∵△P

F

1

F

2

的最大面積為1，
∴

S	△P F   1 F   2

=

1

2

•2c×b=bc=1，②
又a²=b²+c²，③
由①②③解得：a²=2，b²=c²=1，得橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-1）代入橢圓方程，消去y整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由于點M (

5

4

，0)在橢圓內，顯然上式的判別式△＞0恒成立，故直線L總與橢圓C相交于A、B兩點
設A(

x

1

，

y

1

)，B(

x

2

，

y

2

)，
∴

x

1

+

x

2

=

4k2

1+2k2

，

x

1

x

2

=

2k2-2

1+2k2

，

MA

=(

x

1

-

5

4

，

y

1

)，

MB

=(

x

2

-

5

4

，

y

2

)，
∴

MA

•

MB

=(

x

1

-

5

4

)(

x

2

-

5

4

)+

y

1

y

2

=

x

1

x

2

-

5

4

(

x

1

+

x

2

)+

25

16

+k2(

x

1

-1)(

x

2

-1)=(1+k2)

x

1

x

2

-(

5

4

+k2)(

x

1

+

x

2

)+k2+

25

16

=(1+k2)•

2k2-2

1+2k2

-

5+4k2

4

•

4k2

1+2k2

+k2+

25

16

=-

7

16

故

MA

•

MB

=-

7

16

．

點評：本題考查橢圓的標準方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量的數量積，考查學生的計算能力，屬于中檔題．