Question

已知點P(-2

2

，0)，Q(2

2

，0)，動點N（x，y），設直線NP，NQ的斜率分別記為k₁，k₂，記k1?k2=-

1

4

（其中“?”可以是四則運算加、減、乘、除中的任意一種運算），坐標原點為O，點M（2，1）．
（Ⅰ）探求動點N的軌跡方程；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，動點N的軌跡再加上P，Q兩點記為曲線C，直線l平行于直線OM，且與曲線C交于A，B兩個不同的點．
（ⅰ）若原點O在以AB為直徑的圓的內部，試求出直線l在y軸上的截距m的取值范圍．
（ⅱ）試求出△AOB面積的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由斜率公式直接寫出k₁，k₂，然后直接利用加，減，乘，除運算整理得動點N的軌跡方程；
（Ⅱ）（ⅰ）設出直線l的方程，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系得到兩交點A，B的橫坐標的和與積，利用原點O在以AB為直徑的圓的內部得到

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＜0，代入根與系數關系即可求得m的范圍；
（ⅱ）利用弦長公式求出弦長，由點到直線的距離公式求出三角形的高，代入面積公式后利用配方法求最值，并得到三角形面積最大時的直線方程．

解答：解：（Ⅰ）由兩點求斜率得k1=

y

x+2 2

，k2=

y

x-2 2

當“?”表示加法時：

y

x+2 2

+

y

x-2 2

=-

1

4

⇒x2+8xy-8=0(y≠0)．
當“?”表示減法時：

y

x+2 2

-

y

x-2 2

=-

1

4

⇒x2=16

2

y+8(y≠0)．
當“?”表示乘法時：

y

x+2 2

y

x-2 2

=-

1

4

⇒

x2

8

+

y2

2

=1(y≠0)．
當“?”表示乘法時：

y

x+2 2

÷

y

x-2 2

=-

1

4

⇒x=

6

5

2

(y≠0)；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，曲線C為橢圓

x2

8

+

y2

2

=1，
設直線l：y=

1

2

x+

m

，(m≠0)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯立直線與橢圓的方程得：x²+2mx+2m²-4=0，
由△＞0⇒0＜m²＜4，

x1+x2=-2m x1x2=2m2-4

…（*）
（ⅰ）因為點O在以AB為直徑的圓內，故

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＜0，
∴x1x2+y1y2=

5

4

x1x2+

1

2

(x1+x2)+m2，
將（*）代入得m2＜2⇒-

2

＜m＜

2

所以m得取值范圍為：-

2

＜m＜

2

且m≠0
（ⅱ）原點O到直線l的距離d=

2|m|

5

，
弦長|AB|=

5

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

4-m2

S=

1

2

2|m|

5

5(4-m2)

=

4m2-m4

，
令f（m）=4m²-m⁴=-（m²-2）²+4∈（0，4]
故得當且僅當m²=2，即m=±

2

時，
面積的最大值S_max=2．
此時的直線l的方程為：l：y=

1

2

x±

2

．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法，把原點O在以AB為直徑的圓的內部轉化為數量積小于0是解答該題的關鍵，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．