Question

（08年福建卷文）（本小題滿分14分）

如圖，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，且過點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M。

    （）求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；

（）求面積的最大值。

Answer 1

解析：本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、軌跡方程、不等式等基本知識，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。

解法一：

（Ⅰ）由題設(shè)，從而，

所以橢圓C的方程為。

（Ⅱ）（）由題意得。

設(shè)則，。 ……………………………… ①

與的方程分別為：

。

設(shè)，則有

由②，③得。

。

所以點(diǎn)M恒在橢圓C上。

（）設(shè)AM的方程為，代入得。

設(shè)，則有：。

。

令，則

，

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090323/20090323113702028.gif' width=39>，

有最大值3，此時(shí)AM過點(diǎn)F。

△AMN的面積有最大值。

解法二：

（Ⅰ）同解法一：

（Ⅱ）（）由題意得。

設(shè)則，。 ……………………………… ①

與的方程分別為： …………………………… ②

…………………………… ③

由②，③得：當(dāng)時(shí)，。………………………… ④

由④代入①，得。

當(dāng)時(shí)，由②，③得：

解得    與矛盾。

所以點(diǎn)M的軌跡方程為即點(diǎn)M恒在橢圓C上。

（Ⅱ）同解法一。