Question

如圖所示，已知平面直角坐標系xOy，拋物線y=-x²+bx+c過點A（4，0）、B（1，3）．
（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，設拋物線上的點P（m，n）在第四象限，點P關于直線l的對稱點為E，點E關于y軸的對稱點為F，若四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過點A（4，0）、B（1，3）
∴-16+4b+c=0，-1+b+c=3，
∴二次函數的關系式為y=-x²+4x，
對稱軸為：x=2，頂點坐標為：（2，4）
（2）由題可知，E、F點坐標分別為（4-m，n），（m-4，n）．
四邊形OAPF的面積=（OA+FP）÷2×|n|=20，
即4|n|=20，n=-5．
（因為點P（m，n）在第四象限，所以n＜0），
所以 m²-4m-5=0，m=5．
（因為點P（m，n）在第四象限，所以m＞0）
故所求m、n的值分別為 5，-5．
分析：（1）因為拋物線y=-x²+bx+c過點A（4，0）、B（1，3），代入求出其解析式，然后再根據對稱軸公式和頂點公式；
（2）由題可知，E、F點坐標分別為（4-m，n），（m-4，n），根據四邊形OAPF的面積為20，從而求出其m，n的值；
點評：此題主要考查二次函數的性質，坐標軸公式，頂點公式，此題是一道綜合題，注意第二問難度比較大；