Question

21.設(shè)橢圓+y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F₁（－c,0）與F₂（c,0）（c＞0）,且橢圓上存在點(diǎn)P,使得直線PF₁與直線PF₂垂直.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

（Ⅱ）設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn)F₂的準(zhǔn)線,直線PF₂與L相交于點(diǎn)Q.若=2－.求直線PF₂的方程.

Answer 1

21.本小題主要考查直線和橢圓的基本知識(shí),以及綜合分析和解題能力.

解：（Ⅰ）由題設(shè)有m＞0,c=,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀,y₀）,由PF₁⊥PF₂,得=－1,

化簡(jiǎn)得x₀²+y=m.                                                      ①

將①與+y₀²=1聯(lián)立,解得x₀²=,y₀²=.

由m＞0,x₀²=≥0,得m≥1.

所以m的取值范圍是m≥1.

（Ⅱ）準(zhǔn)線L的方程為x=.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₁,y₁）,則x₁=.

==.                                     ②

將x₀=代入②,

化簡(jiǎn)得==m+.

由題設(shè)=2－,

得m+=2－，無(wú)解.

將x₀=－代入②,

化簡(jiǎn)得==m－.

由題設(shè)=2－,得m－=2－.

解得m=2.

從而x₀=－,y₀=±,c=,

得到PF₂的方程為y=±（－2）（x－）.