Question

奇函數f（x）（x∈R）滿足：f（-4）=0，且在區間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減和遞增，則不等式（x²-4）f（x）＜0的解集為

（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）

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Answer 1

分析：由題意，可先研究奇函數f（x）（x∈R）的特征，得出f（x）＜0的解集與f（x）＞0的解集，再研究x²-4符號為正時x的取值范圍與符號為負時x的取值范圍，不等式（x²-4）f（x）＜0說明（x²-4）與f（x）符號相反，由此判斷出不等式的解集即可得到答案

解答：解：由題意奇函數f（x）（x∈R）滿足：f（-4）=0，且在區間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減和遞增
可得f（4）=0
由上知，當x≥0時，f（x）＜0的解集（0，4），f（x）＞0的解集（4，+∞），
由于函數是奇函數，故當x＜0時，f（x）＜0的解集（-∞，-4），f（x）＞0的解集（-4，0），
令x²-4＞0解得x＞2或x＜-2
∴不等式（x²-4）f（x）＜0的解集為（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）
故答案為（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）

點評：本題考點是奇偶性與單調性的綜合，考查了奇函數的對稱性，函數單調性及由題設條件判斷函數值的符號，解題的關鍵是理解兩個因子乘積小于0，則兩者的符號相反，本題考查了判斷推理的能力及數形結合的思想，是函數性質考察的經典題，在高考中也多有出現．