Question

設函數．
（1）若對定義域內任意，都有成立，求實數的值；
（2）若函數在定義域上是單調函數，求的范圍；
（3）若，證明對任意正整數，不等式都成立．

Answer 1

（1）；（2）；（3）當時，
令，，在上遞減 又，當時，恒有即恒成立，當時，，，
取-

試題分析：（1）的定義域為對，都有，又函數在定義域上連續．是函數的最小值，，………………4分
（2）
又在定義域上單調，或在上恒成立，--5分
若，，在上恒成立，即，----------7分
若，，，即恒成立．在上無最小值．不存在使恒成立
綜上，……………9分
（3）當時，
令，
當時， 在上遞減
又，當時，恒有即恒成立，
當時，，，
取-------12分
點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性以及函數與數列、不等式的綜合的問題，屬于難題．利用分類討論思想和不等式放縮的技巧，是解決本題的關鍵，也是思考的難點．