Question

已知函數
（1）求函數在上的最大值與最小值；
（2）若時，函數的圖像恒在直線上方，求實數的取值范圍；
（3）證明：當時，．

Answer 1

（1）；（2）實數取值范圍是 ；(3)證明過程見解析.

試題分析：（1）求導函數，判斷的單調性，可求得最值；（2）將圖象問題轉化為不等式在恒成立的問題，進而變為恒成立，即求的取值范圍的問題，可得取值范圍是；（3）利用，令轉化為，累加即可.
試題解析：
解：（1）定義域為，且，          1分
當時，，當時，
在為為減函數；在上為增函數，3分
            4分
               5分
（2）當時，函數的圖像恒在直線的上方，等價于時不等式恒成立，即恒成立，     6分
令，則，當時，，故在上遞增，所以時，，      9分
故滿足條件的實數取值范圍是          10分
（3）證明：由（2）知當時，     11分
令，則，化簡得      13分

  

即             14分