Question

設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。
（1）求數列與數列的通項公式；
（2）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；

Answer 1

（1），；（2）祥見解析．

試題分析：（1）由已知及與的關系：，令n=1可求得的值，再將已知等式中的n換成n+1得，然后與已知式子：相減得到：，從而可得到：，這說明數列是公比為的等比數列，所以就可寫出數列的通項公式，再代入就可得到數列的通項公式；（2）由（1）的結果，結合就可得到數列的通項公式，如果其前n項和可求，則先求出其前n項和再與比較大小；若直接求和比較難辦，則注意思考先用放縮法將數列的通項公式放大成一個可求和的數列，則小于此數列的前n項和，而此此數列的前n項和恰好是小于或等于的，因此在放大的時候一定要注意適當放大且能求和是關鍵．
試題解析：（1）當時，      1分 
又       3分
∴數列是首項為，公比為的等比數列，     4分
∴，         6分 
（2）由得        7分

     10分
又   當時，，，     11分
當時，
∴對任意正整數都有。     14分