Question

若f（x）=log_a（4-3ax）與g（x）=

a

x+1

在區間（0，

1

2

]上均為減函數，則a的取值范圍是（　　）

• A．a＞1
• B．1＜a＜

  8

  3

• C．0＜a＜1
• D．0＜a＜1或1＜a＜

  8

  3

Answer 1

分析：先將函數f（x）=log_a（4-3ax）轉化為y=log_at，t=4-3ax，兩個基本函數，再利用復合函數求解；再利用g（x）=

a

x+1

在區間（0，

1

2

]上為減函數，得出a的取值范圍．最后綜合兩者即可．

解答：解：令y=log_at，t=4-3ax，
（1）若0＜a＜1，則函y=log_at，是減函數，
由題設知t=4-3ax為增函數，需a＜0
故此時無解．
（2）若a＞1，則函y=log_at，是增函數，則t為減函數，需a＞0且4-3a×

1

2

≥0
此時，1＜a≤

8

3

綜上：若f（x）=log_a（4-3ax）在區間（0，

1

2

]上均為減函數，實數a 的取值范圍是（1，

8

3

]．
又g（x）=

a

x+1

在區間（0，

1

2

]上為減函數，可得a的取值范圍是a＞0．
綜上所述，則a的取值范圍是1＜a＜

8

3

．
故選B．

點評：本題主要考查復合函數，關鍵是分解為兩個基本函數，利用同增異減的結論研究其單調性，再求參數的范圍．