Question

已知函數f(x)=,x∈［0，2］.

（1）求f(x)的值域；

（2）設a≠0,函數g(x)=ax³-a²x,x∈［0，2］.若對任意x₁∈［0，2］，總存在x₂∈［0，2］，使f(x₁)-g(x₂)=0.求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)的值域是（2）實數a的取值范圍是

解析:

  （1）方法一  對函數f(x)求導，f′(x)=·.

令f′(x)=0,得x=1或x=-1.

當x∈(0,1)時，f′(x)＞0,f(x)在(0,1）上單調遞增；

當x∈(1,2)時，f′(x)＜0,f(x)在（1，2）上單調遞減.又f(0)=0,f(1)=,f(2)=,

∴當x∈［0，2］時，f(x)的值域是.

方法二  當x=0時，f(x)=0;

當x∈(0，2］時，f(x)＞0且

f(x)=·≤·=，

當且僅當x=,即x=1時，“=”成立.

∴當x∈［0，2］時，f(x)的值域是.

(2)設函數g(x)在［0，2］上的值域是A.

∵對任意x₁∈［0，2］，總存在x₀∈［0，2］，

使f(x₁)-g(x₀)=0,∴A.

對函數g(x)求導，g′(x)=ax²-a².

①當x∈(0,2),a＜0時，g′(x)＜0,

∴函數g(x)在（0，2）上單調遞減.

∵g(0)=0,g(2)=a-2a²＜0,

∴當x∈［0，2］時，不滿足A；

②當a＞0時，g′(x)=a(x-)(x+).

令g′(x)=0，得x=或x=-（舍去）.

（ⅰ)當x∈［0，2］，0＜＜2時，列表：

x	0	（0，）		（，2）	2
		-	0	+
g(x)	0		-

∵g(0)=0,g()＜0,

又∵A，∴g（2）=≥.

解得≤a≤1.

(ⅱ)當x∈(0,2),≥2時，g′(x)＜0,

∴函數在（0，2）上單調遞減，

∵g（0）=0，g（2）=＜0,

∴當x∈［0，2］時，不滿足A.

綜上，實數a的取值范圍是.