Question

(本小題滿分12分) 已知圓過橢圓的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點；直線與圓相切 ，與橢圓相交于兩點記
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）求的面積S的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）

解析試題分析：
（1）根據題意可知因為圓與橢圓有且只有兩個公共點，那么聯立方程組，則得到的方程僅有兩個實根可得b的值，然后分析2c=2,得到c=1，從而得到橢圓方程。
（2）結合已知的條件，直線與圓相切 ，可知m與k點的關系式，而直線與橢圓相交于兩點，那么聯立直線方程與橢圓的方程組，結合韋達定理得到，從而化簡得到其為，結合的范圍得到結論。
（3）根據弦長公式，那么可知結論為，那么結合上一問的k的范圍得到面積的范圍。
解：（1）由題意知2c="2,c=1," 因為圓與橢圓有且只有兩個公共點，從而b=1.故a=
所求橢圓方程為        ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
（2）因為直線l:y=kx+m與圓相切
所以原點O到直線l的距離＝1,即：m  ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
又由　，（）　　
設A（），B（），則    ﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分

＝，由，故， 即 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分    
（3）
＝，由，得：        ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍11分
，所以：　              ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分
考點：本試題主要是考查了圓與橢圓的位置關系，以及直線與圓的位置關系，和直線與橢圓的相交弦長的公式的運用。
點評：解決該試題的關鍵是確定出參數b的值，以及結合已知中2c=2的值，得到橢圓的方程該試題的突破口。