Question

在（2+）¹⁰⁰展開式中，求共有多少個有理數的項？

Answer 1

【答案】分析：根據題意，可得的二項展開式，若x的系數為有理數，即（）^100-r•（）^r為有理數，則100-r為2的倍數，r為3的倍數，設r=3n，則100-3n為2的整數倍，分析可得答案．
解答：解：根據題意，（2+）¹⁰⁰的二項展開式為T_r+1=C₁₀₀^r•2^100-r•（）^r=C₁₀₀^r•2^100-r•，r=0，1，2，3，…100
若展開式為有理數，即為有理數，
則r為4的倍數，r=0，4，8，12，…100．
100=0+（n-1）×4，
可得n=26，有26個符合條件，
共有26個有理數的項．
點評：本題考查二項式定理的應用，注意整數的整除的有關性質，仔細進行分析．