Question

用0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的自然數。
（Ⅰ）在組成的三位數中，求所有偶數的個數；
（Ⅱ）在組成的三位數中，如果十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都小，則稱這個數為“凹數”，如301,423等都是“凹數”，試求“凹數”的個數；
（Ⅲ）在組成的五位數中，求恰有一個偶數數字夾在兩個奇數數字之間的自然數的個數。

Answer 1

 （Ⅰ）共有30個符合題意的三位偶數。
（Ⅱ）共有20個符合題意的“凹數
（Ⅲ）共有28個符合題意的五位數

本試題主要是考查了排列組合在實際生活中的運用。
（1）將所有的三位偶數分為兩類，個位數是0，個位數是2，或者4.來討論得到。
（2）將這些“凹數”分為三類：
若十位數字為0，則共有12（種）；若十位數字為1，則共有6（種）； 若十位數字為2，則共有2（種）
（3）將符合題意的五位數分為三類：
若兩個奇數數字在一、三位置，則共有12（種）；
若兩個奇數數字在二、四位置，則共有8（種）；
若兩個奇數數字在三、五位置，則共有種得到結論。
解：（Ⅰ）將所有的三位偶數分為兩類：
（1）若個位數為0，則共有（種）；          1分
（2）若個位數為2或4，則共有（種）          2分
所以，共有30個符合題意的三位偶數。             3分
（Ⅱ）將這些“凹數”分為三類：
（1）若十位數字為0，則共有（種）；             4分
（2）若十位數字為1，則共有（種）；             5分
（3）若十位數字為2，則共有（種），
所以，共有20個符合題意的“凹數”          6分
（Ⅲ）將符合題意的五位數分為三類：
（1）若兩個奇數數字在一、三位置，則共有（種）；        7分
（2）若兩個奇數數字在二、四位置，則共有（種）；            8分
（3）若兩個奇數數字在三、五位置，則共有（種），
所以，共有28個符合題意的五位數。           9分