Question

（2009•河西區二模）如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正視圖為Rt△PAC，AC=2

6

，PA=4，俯視圖也為直角三角形，另一直角邊長為2

2

．
（Ⅰ）畫出側視圖并求側視圖的面積；
（Ⅱ）證明面PAC⊥面PAB；
（Ⅲ）求直線PC與底面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由題意，可得AP、AC、AB兩兩垂直，因此側視圖的形狀就是△PAB，根據△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，作出側視圖如圖所示，結合題中數據不難得到它的面積；
（II）根據線面垂直的判定與性質，證出AC⊥面PAB，結合AC是平面PAC內的直角，證出面PAC⊥面PAB；
（III）由PA⊥面ABC，得∠PCA為直線PC與底面ABC所成的角，然后在Rt△PAC中，算出PC的長，利用三角的定義算出cos∠PCA=

15

5

，即得直線PC與底面ABC所成角的余弦值．

解答：解：（I）根據題意，側視圖的形狀就是△PAB，因此作出側視圖如右圖所示
∵側視圖是一個高等于4，底等于2

2

的直角三角形
∴側視圖的面積S=

1

2

×4×2

2

=4

2

；
（Ⅱ）∵PA⊥面ABC，AC?面ABC，
∴PA⊥AC，
又∵由俯視圖知AB⊥AC，PA∩AB=A，
∴AC⊥面PAB
∵AC?面PAC，∴面PAC⊥面PAB
（Ⅲ）∵PA⊥面ABC，∴∠PCA為直線PC與底面ABC所成的角
∵在Rt△PAC中，PA=4，AC=2

6

，
∴PC=

PA2+AC2

=2

10

，
可得cos∠PCA=

AC

PC

=

2 6

2 10

=

15

5

，
即直線PC與底面ABC所成角的余弦值等于

15

5

．

點評：本題給出三棱錐的三視圖，求一個側面的面積并證明面面垂直．著重考查了三視圖的理解與認識面面垂直的判定與性質和線面角的定義與求法等知識，屬于中檔題．