Question

已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，證明：（x₀）＜0．（本題滿分14分）

Answer 1

（1）若單調(diào)增加.
若，單調(diào)增加，在單調(diào)減少. 
（2）見解析。

解析試題分析：解：（1）…………………………………………1分
 …………………………2分
（i）若單調(diào)增加.…………………3分
（ii）若
且當(dāng)
所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. ……………………5分
（2）設(shè)函數(shù)則

…………………………………7分
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
故當(dāng)，  ……………………………9分
（3）由（I）可得，當(dāng)的圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，
故，從而的最大值為
不妨設(shè)
由（II）得
從而
由（I）知，  …………………………………………………14分
考點(diǎn)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、綜合分析和解決問題的能力以及分類討論的思想方法。
點(diǎn)評：解答本題易出現(xiàn)以下失誤：①忘記求函數(shù)的定義域；②想不到分類討論，從而在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。當(dāng)求函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，如果無法判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，自然而然的就應(yīng)該想到分類討論，為了避免錯(cuò)誤的發(fā)生，在平常做題時(shí)就要養(yǎng)成分析思路的習(xí)慣。