Question

本題滿分15分）已知函數(shù)，.
(Ⅰ)當(dāng)時，求函數(shù)的極值點；
(Ⅱ)若函數(shù)在導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的，求的取值范圍；
(Ⅲ) 當(dāng)時，設(shè)，且是函數(shù)的極值點，證明：.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ) 或 (Ⅲ)見解析

解析試題分析：(Ⅰ)當(dāng)時， （），
令，
解得(舍)， ，                                 ……1分
容易判斷出函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間，+∞)上單調(diào)遞增
……2分
∴在時取極小值.                                      ……4分
(Ⅱ)解法一：                        ……5分
令，
，設(shè)的兩根為 ，
1⁰當(dāng)即，≥0，∴單調(diào)遞增，滿足題意.         ……6分
2⁰當(dāng)即或時,
(1)若，則,即時,
在上遞減，上遞增，,
 ∴在(0，+∞)單調(diào)增，不合題意.          ……7分
(2)若 則,即時在(0，+∞)上單調(diào)增，滿足題意.
……8分
(3) 若則 即a>2時
∴在(0，)上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減，在(，+∞)上單調(diào)遞增，
不合題意.                                                             ……9分
綜上得或.                                            ……10分
解法二： ,                                  ……5分
令，，
設(shè)的兩根 
1⁰當(dāng)即