Question

已知f(x)=

1

x+2

，點A₀表示原點，點A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量

an

與向量

i

=(1，0)的夾角，

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

，設S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，則

lim

n→∞

Sn=______．

Answer 1

由向量求和知

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

=

.

A0

An，
又有f(x)=

1

x+2

，點A_n（n，f（n））（n∈N^*），
向量

an

與向量

i

=(1，0)的夾角為θ_n即線段A₀A_n與x軸夾角也為θ_n，
由此可知tanθ_n=

f(n)

n

=

1 n+2

n

=

1

n×(n+2)

，
又設S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，
由tanθ_n=

1

n×(n+2)

=（

1

n

-

1

n+2

）×

1

2

，
利用數列裂項相消求和公式可得：
S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n=

1

2

×（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

×（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）．
∴

lim

n→∞

Sn=

3

4

．
故答案為：

3

4

．