Question

已知雙曲線過點P(-3

2

，4)，它的漸近線方程為y=±

4

3

x
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）設F₁和F₂是該雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，且|PF₁|•|PF₂|=55，求∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據雙曲線漸近線方程為y=±

4

3

x，設雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=m（m≠0），代入點P的坐標算出m=1，即可得到雙曲線的標準方程；
（2）由雙曲線的標準方程，算出a=3、b=4且c=5，根據雙曲線的定義算出||PF₁|-|PF₂||=2a=6，再由△F₁PF₂中|F₁F₂|=10且|PF₁|•|PF₂|=55，利用余弦定理加以計算即可得出∠F₁PF₂的余弦值．

解答：解：（1）∵雙曲線的漸近線方程為y=±

4

3

x
∴設所求雙曲線的方程為（y+

4

3

x）（y-

4

3

x）=m（m≠0），即

x2

9

-

y2

16

=m，
又∵P(-3

2

，4)在該雙曲線上，
∴將P的坐標代入雙曲線方程，得

(-3 2 )2

9

-

42

16

=m，解得m=1，
因此，所求雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=1；
（2）∵雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=1，∴a=3、b=4，可得c=

a2+b2

=5．
根據雙曲線定義，可得||PF₁|-|PF₂||=2a=6，
∵|F₁F₂|=2c=10，|PF₁|•|PF₂|=55，
∴在△F₁PF₂中，根據余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
即|F₁F₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
可得100=36+2×55-2×55cos∠F₁PF₂，即110cos∠F₁PF₂=46，
∴cos∠F₁PF₂=

46

110

=

23

55

．

點評：本題給出雙曲線的漸近線，在雙曲線經過定點P的情況下求它的標準方程，并依此求∠F₁PF₂的余弦值．著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、利用余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．