Question

設G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足

OP

•

OQ

=-2？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質如下：設△ABC的重心，且有

GD

GC

=

GE

GA

=

GF

GB

=

1

2

．

Answer 1

可設C點的坐標為（x，y）．
由重心坐標的公式，可得G（

1

3

x，

1

3

y）
外心M在AB的垂直平分線上，顯然AB所在直線為y=0，外心就落在y軸上，橫坐標為零；
設外心坐標M（0，b），由GM∥AB可知

1

3

y=b
那么就確定了外心坐標M（0，

1

3

y）
由外心定義，CM=AM=BM，AM已經等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可
不妨CM=AM，
∴x2+(y-

1

3

y)2=(-1-0)2+(

1

3

y)2
整理可得點C的軌跡方程為 x²+

y2

3

=1(xy≠0)
（II）假設存在直線l滿足條件，設直線l方程為y=kx+1，
由

y=kx+1 x2+ y2 3 =1

消去x，得（3+k²）x²+2kx-2=0    
∵直線l與曲線E并于P、Q兩點，∴△=4k²+8（2+k²）＞0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+x2=- 2k 3+k2 x1x2=- 2 3+k2 .

∵

OP

•

OQ

=-2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-2，即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=-2．
（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+3=0，（1+k²）(-

2

3+k2

)+k(-

2k

3+k2

)+3=0
解得k²=7，∴k=±

7

故存在直線l：y=±

7

+1，使得

OP

•

OQ

=-2，