Question

已知數列滿足：，且
（1）求通項公式
（2）設的前n項和為S n，問：是否存在正整數m、n，使得
若存在，請求出所有的符合條件的正整數對（m,n），若不存在，請說明理由．

Answer 1

 （1）；（2）見解析.

第一問利用數列的遞推關系，我們可以得到當n是奇數時；當n是偶數時，,然后利用遞推關系，求解得到數列的通項公式即可
第二問中，利用前n項和的遞推關系，我們借助于，
若存在正整數m、n，使得，
得到，借助于m的范圍，對其令值，然后解。
解：（1）當n是奇數時；當n是偶數時，．
所以，當n是奇數時，；當n是偶數時，．……………2分
又，，所以，是首項為1，公差為2的等差數列；
…是首項為2，公比為3的等比數列．       …………4分
所以，．         ………………………………6分
（2）由（1），得

，
．       ……………8分
所以，若存在正整數m、n，使得，則
．……9分
顯然，當m=1時，；
當m=2時，由，整理得．
顯然，當n=1時，不成立；
當n=2時，成立，
所以(2,2)是符合條件的一個解．                 ……………11分
當時，
……………12分
當m=3時，由，整理得n=1，
所以(3,1)是符合條件的另一個解．
綜上所述，所有的符合條件的正整數對(m,n)，有且僅有(3,1)和(2,2)兩對． 14分
（注：如果僅寫出符合條件的正整數對(3,1)和(2,2)，而沒有敘述理由，每得到一組正確的解，給2分，共4分）