Question

設二次函數滿足條件：①；②函數的圖像與直線相切．
（1）求函數的解析式；
（2）若不等式在時恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：由的圖象的對稱軸方程是，于是有，依題意，方程組有且只有一解，利用即可求得與，從而得函數的解析式；（2）利用指數函數的單調性質，知在時恒成立，構造函數，由即可求得答案．
試題解析：（1）由①可知，二次函數圖像對稱軸方程是，；
又因為函數的圖像與直線相切，所以方程組有且只有一解，即方程有兩個相等的實根，，
所以，函數的解析式是．
（2），等價于，
即不等式在時恒成立，
問題等價于一次函數在時恒成立，
即，
解得：或，
故所求實數的取值范圍是．
考點：1、函數恒成立問題；2、二次函數的性質．