Question

若f（x）是R上的減函數，且f（0）=3，f（3）=-1，設P={x||f（x+t）-1|＜2}，Q={x|f（x）＜-1}，若“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分條件，則實數t的取值范圍是

t≤-3

．

Answer 1

分析：先化簡集合P，Q，然后利用“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分條件，確定實數t的取值范圍．

解答：解：由|f（x+t）-1|＜2得-2＜f（x+t）-1＜2，即-1＜f（x+t）＜3，
因為函數f（x）是R上的減函數，且f（0）=3，f（3）=-1，
所以不等式等價為f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0．所以-t＜x＜3-t．
即P={x|-t＜x＜-3-t}．
由f（x）＜-1得f（x）＜f（3），所以x＞3，即Q={x|x＞3}，
所以要使“x∈Q”是“x∈P”的必要不充分條件，
則-t≥3，即t≤-3．
故答案為：t≤-3．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用函數的單調性將集合P，Q進行化簡是解決本題的關鍵，綜合性較強．