Question

對于數列若存在常數M＞0,對任意的，恒有     

則稱數列為B-數列

（1）       首項為1，公比為的等比數列是否為B-數列？請說明理由;

請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題

判斷所給命題的真假，并證明你的結論；

（2）       設是數列的前項和，給出下列兩組論斷；

A組：①數列是B-數列      ②數列不是B-數列

B組：③數列是B-數列      ④數列不是B-數列

請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題。

判斷所給命題的真假，并證明你的結論；

（3） 若數列都是數列，證明：數列也是數列。

Answer 1

⑴首項為1，公比為的等比數列是B-數列，⑵（3）略

解析:

（1）設滿足題設的等比數列為,則，于是

      

因此｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜=

因為所以即

    

   故首項為1，公比為的等比數列是B-數列。

（2）命題1：若數列是B-數列，則數列是B-數列

      次命題為假命題。

     事實上，設，易知數列是B-數列，但

                     

由的任意性知，數列是B-數列此命題為。

命題2：若數列是B-數列，則數列是B-數列

此命題為真命題

事實上，因為數列是B-數列，所以存在正數M，對任意的有

       

即。于是

       

所以數列是B-數列。

（III）若數列 {}是數列，則存在正數，對任意的有

  

注意到

  

同理：

記，則有

因此 

      +

故數列是數列。