Question

（1）設x∈R，比較x³與x²-x+1的大小．
（2）設a>0，b>0，求證：≥．

Answer 1

（1）解： ∵ x³-(x²-x+1)= x³-x²+x-1=x²(x-1)+(x-1)=(x-1)(x²+1)，
……………………3分
∵ x∈R，x²+1>0．
故當x>1時，(x-1)(x²+1)>0，∴ x³>x²-x+1；
當x=1時，(x-1)(x²+1)=0，∴ x³=x²-x+1；
當x<1時，(x-1)(x²+1)<0，∴ x³<x²-x+1.       ……………………5分
（2）證明：∵ ≥，
≥，            ……………………9分
兩式相加得
+≥，
整理得≥．               …………………10分
（注：該題也可用作差法證，類比給分）

略