Question

（2013•天津）已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間[0，+∞）上單調遞增．若實數a滿足f(log2a)+f(log

1

2

a)≤2f(1)，則a的取值范圍是（　　）

• A．[1，2]
• B．(0，

  1

  2

  ]
• C．[

  1

  2

  ，2]
• D．（0，2]

Answer 1

分析：根據偶函數的定義將所給的式子化為：f（|log₂a|）≤f（1），再利用偶函數的單調性列出關于a的不等式求解．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數，∴f(log

1

2

a)=f(-log2a)=f(log2a)，
∴f(log2a)+f(log

1

2

a)≤2f(1)可變為f（log₂a）≤f（1），
即f（|log₂a|）≤f（1），
又∵在區間[0，+∞）上單調遞增，且f（x）是定義在R上的偶函數，
∴

|log

a 2

|≤1，即-1≤lo

g

a 2

≤1，
解得

1

2

≤a≤2，
故選C．

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性的綜合應用，易錯處是忽略定義域內的單調性不同，即對稱區間單調性相反，注意自變量的取值范圍，考查了學生的轉化能力．