Question

（2013•天津）已知下列三個命題：
①若一個球的半徑縮小到原來的

1

2

，則其體積縮小到原來的

1

8

；
②若兩組數據的平均數相等，則它們的標準差也相等；
③直線x+y+1=0與圓x2+y2=

1

2

相切．
其中真命題的序號是（　　）

A．①②③

B．①②

C．①③

D．②③

Answer 1

分析：對于①由球的體積公式V=

4

3

πR3可知①正確；對于②通過舉反例，如2，2，2和1，2，3；這兩組數據的平均數相等，它們的標準差不相等，故②錯；對于③利用圓x2+y2=

1

2

的圓心到直線x+y+1=0的距離與圓的半徑之間的關系進行判斷即可．

解答：解：①由球的體積公式V=

4

3

πR3可知，若一個球的半徑縮小到原來的

1

2

，則其體積縮小到原來的

1

8

；故①正確；
②若兩組數據的平均數相等，則它們的標準差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；這兩組數據的平均數相等，它們的標準差不相等，故②錯；
③圓x2+y2=

1

2

的圓心到直線x+y+1=0的距離d=

1

2

=

2

2

=半徑r，故直線x+y+1=0與圓x2+y2=

1

2

相切，③正確．
故選C．

點評：本題主要考查了命題的真假判斷與應用，主要考查了球的體積公式、平均數和方差、直線與圓的位置關系等，屬于基礎題．