Question

在正方體中，分別的中點.

（1）求證：；

（2）已知是靠近的的四等分點，求證：.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）用普通方法不容易證且為正方體故選用空間向量法。先建立空間直角坐標系，設出正方體的邊長得各點的坐標。用向量垂直證線線垂直，再根據線面垂直的定義證得線面垂直。（2）由（1）可知，用向量證得，即,再根據線面平行的判定定理證得線面平行。

試題解析：證明：如圖所示，建立空間直角坐標系.

設正方體的棱長為.

∵分別的中點，

∴，，

，. 1分

（1）∵，∴. 2分

∵，，，

∴，. 3分

∵，

，

∴，. 5分

∵是平面上的兩條相交直線，∴. 6分

（2）∵是靠近的的四等分點，∴. 7分

設，則，

∴，

∴. 9分

∴，∴，

∵，且不在平面內，∴. 12分

考點：空間向量法在立體幾何中的應用。