Question

已知函數f（x）在R上有定義，對任意實數a＞0和任意實數x，都有f（ax）=af（x），若f（1）=2，則函數y=f(x)+

1

f(x)

(x＞0)的遞減區間是

（0，

1

2

）

．

Answer 1

分析：由題意先求出函數f（x）的解析式，從而可求出y=f(x)+

1

f(x)

(x＞0)的表達式，用導數即可求得其遞減區間．

解答：解：由題意得，當x＞0時，f（x）=f（x•1）=xf（1）=2x．
所以y=f(x)+

1

f(x)

(x＞0)=2x+

1

2x

（x＞0）．
令y′=2-

1

2x2

＜0，解得0＜x＜

1

2

．
所以函數y=f(x)+

1

f(x)

(x＞0)的遞減區間是（0，

1

2

）．
故答案為：（0，

1

2

）．

點評：本題考查函數解析式的求解及函數單調性的性質，解決本題的關鍵是利用已知條件求出函數解析式．