Question

過曲線y=

x+1

x2

上橫坐標為1的點P處的一條切線的方程為（　　）

A．2x+y-4=0

B．3x-y-1=0

C．4x-y-2=0

D．x-y+1=0

Answer 1

分析：把x=1代入函數解析式求出P點坐標，設出切點坐標（x₀，y₀），求出f′（x₀），由點斜式得切線方程，把P的坐標代入切線方程求出x₀的值，則切線方程可求，逐一核對四個選擇支可得答案．

解答：解：由x=1，得y=

1+1

12

=2，所以曲線上的點P的坐標為（1，2）．
設切點坐標（x₀，y₀），
又y′=

-x-2

x3

，所以y′|x=x0=

-x0-2

x03

．
則過曲線y=

x+1

x2

上橫坐標為x₀的點的切線的方程為y-

x0+1

x02

=

-x0-2

x03

（x-x₀）．
代入P點坐標得：2-

x0+1

x02

=-

x0+2

x03

(1-x0)．
解得：x₀=-1或x₀=1
當x₀=-1時，切線方程為：y-

-1+1

(-1)2

=

1-2

(-1)3

(x+1)，即x-y+1=0．
故選D．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，當切點不在曲線上時，需要設出切點坐標，利用切點坐標得到切線方程后代入已知點的坐標求解，是中檔題也是易錯題．