Question

已知函數，設，
．  
（1）猜測并直接寫出的表達式;此時若設，且關于的函數在區間上的最小值為，則求的值;
（2）設數列為等比數列，數列滿足，，若 ，，其中,則
①當時，求；
②設為數列的前項和，若對于任意的正整數，都有，求實數的取值范圍．

Answer 1

①②

(I)先分別求出從而歸納出,所以.這樣可得到.
然后再討論二次函數的對稱軸與-1的大小關系即可.
（2）在（1）的基礎上，可得,所以數列的公比為,當m=1時，,所以,
所以,然后兩式作差整理可得，問題到此基本得以解決.
解：（1）∵，
∴ ．…1分
∴．………………2分
∴．
∴．…………4分
ⅰ）當，即時，函數在區間上是減函數，
∴當時，，即，該方程沒有整數解．…5分
ⅱ）當，即時，，解得，綜上所述，．…6分;
（2）①由已知，所以；，所以，解得； 所以數列的公比； ．．．．7分當時，， ,即  …①  ，………②，  
②－①得，，．．．．8分
 ．．．．．9分
②     ．．．．．10分
因為，所以由得，．．．．11分
注意到，當n為奇數時，； 
當為偶數時，，
所以最大值為，最小值為．．．．．13分
對于任意的正整數n都有，
所以，解得．．．14分