Question

已知函數y=

x2+mx+3

x+n

的值域是（-∞，-2]∪[4，+∞），求實數m，n的值．

Answer 1

分析：把函數的分母看做一個整體，用t表示，把函數中所有的x都用含t的式子表示，由均值定理，就可求出函數的值域，又因為已知函數的值域為（-∞，-2]∪[4，+∞），兩個值域相同，就可求出m，n的值．

解答：解：設t=x+n，則x=t-n
y=

x2+mx+3

x+n

=

(t-n) 2+m(t-n)+3

t

=

t2+(m-2n)t+n2-mn+3

t

=t+

n2-mn+3

t

+m-2n
當t＞0時，則y≥2

n2-mn+3

+m-2n
當t＜0時，則y≤-2

n2-mn+3

+m-2n
∵函數y=

x2+mx+3

x+n

的值域是（-∞，-2]∪[4，+∞），
∴2

n2-mn+3

+m-2n=4且-2

n2-mn+3

+m-2n=-2
解得

m=2 n= 1 2

或

m=-2 n=- 3 2

點評：本題主要考查了應用均值定理求函數的值域的，注意湊均值定理的形式，另外注意觀察均值定理的條件是否具備．