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設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）記曲線在點(diǎn)（其中）處的切線為，與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最大值.

【解析】第一問(wèn)利用由已知，所以，

由，得， 所以，在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減； 在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

第二問(wèn)中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image020.png">，所以曲線在點(diǎn)處切線為：.

切線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image006.png">，所以，  

， 在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，

解：（Ⅰ）由已知，所以， 由，得，  所以，在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減； 

在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；  

即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image020.png">，所以曲線在點(diǎn)處切線為：.

切線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image006.png">，所以，  

， 在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，

所以，的最大值為

 

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（Ⅱ）的最大值為.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高三學(xué)業(yè)水平考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，其中，為正整數(shù)，、、均為常數(shù)，曲線在處的切線方程為.

（1）求、、的值；

（2）求函數(shù)的最大值；

（3）證明：對(duì)任意的都有.（為自然對(duì)數(shù)的底）

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年江西省七校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，其中a>0.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)a的值；

（Ⅲ）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值（其中e為自然對(duì)的底數(shù)）。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年浙江省高三12月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（滿分１5分）設(shè)函數(shù)，，（其中為自然底數(shù)）；

（Ⅰ）求（）的最小值；

（Ⅱ）探究是否存在一次函數(shù)使得且對(duì)一切恒成立；若存在，求出一次函數(shù)的表達(dá)式，若不存在，說(shuō)明理由；

（Ⅲ）數(shù)列中，，，求證：。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：陜西省模擬題 題型：解答題

已知，函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．  
（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；  
（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年四川省成都市模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， .(Ⅰ)設(shè)，求函數(shù)的最值；（Ⅱ）若對(duì)于任意的，都有成立，求的取值范圍.

【解析】第一問(wèn)中，當(dāng)時(shí)，，．結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)判定單調(diào)性和極值，進(jìn)而得到最值。

第二問(wèn)中，∵，，      

∴原不等式等價(jià)于：,

即, 亦即

分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍

解：（Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，．

當(dāng)在上變化時(shí)，，的變化情況如下表：

 

－

＋

 

1／e

∴時(shí)，，．

(Ⅱ)∵，，      

∴原不等式等價(jià)于：,

即, 亦即．

∴對(duì)于任意的，原不等式恒成立,等價(jià)于對(duì)恒成立,

∵對(duì)于任意的時(shí), （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范圍是

 

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